Question

12．如图（1），已知E是正方形ABCD的边AB上一点，过D作DF⊥DE交BC的延长线于F，连按EF，BD．
（1）求证：∠BDE=∠BFE；
（2）若EI平分∠BEF交BD于I，求$\frac{DI}{EF}$的值；
（3）如图（2），P是CE的中点，若AP⊥PQ交∠ADC的外角平分线于Q，连接AQ，求$\frac{AQ}{AP}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△DAE≌△DCF推出△DEF是等腰直角三角形，得到∠DEO=∠OBF，由此根据“8字型”性质即可解决问题．
（2）只要证明DI=DE，即可解决问题．
（3）如图2中，连接PB、PD，延长AD、PQ交于点O，只要证明△APQ是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCB=∠DCF=∠ADC=90°，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△DAE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{DA=DC}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCF，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DBF=45°，
∵∠EOD=∠BOF，
∴∠EDB=∠BFE．

（2）如图1中，∵EI平分∠BEF，
∴∠BEI=∠FEI，
∵∠EID=∠EBI+∠BEI=45°+∠BEI，∠DEI=∠DEF+∠FEI=45°+∠FEI，
∴∠DEI=∠DIE，
∴DI=DE，
∴$\frac{DI}{EF}$=$\frac{DE}{EF}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）如图2中，连接PB、PD，延长AD、PQ交于点O．

在Rt△CBE中，∵PE=PC，
∴PB=PE=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
∵AB=CD，
∴△ABP≌△DCP，
∴PA=PD，
∠BAD=∠PDA，
∴∠PAB=∠PDC，
∵∠Q+∠PAQ=90°，∠PAB+∠PAQ=90°，
∴∠O=∠PAB=∠PDC，
∵∠PQD=∠O+∠QDO=45°+∠O，∠PDQ=∠PDC+∠CDQ=45°+∠PDC，
∴∠PQD=∠PDQ，
∴PD=PQ=PA，
∵∠APQ=90°，
∴△PAQ是等腰直角三角形，
∴$\frac{AQ}{AP}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．