Question

（2013•溧水县二模）我区的某公司，用1800万元购得某种产品的生产技术、生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到200元之间为合理．当单价在100元时，销售量为20万件，当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件；设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为W（万元）．
（年利润=年销售总额-生产成本-投资成本）
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利W与x之间的函数关系式，并请说明不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损的，最小亏损是少？
（3）在使第一年亏损最小的前提下，若该公司希望到第二年的年底，弥补第一年的亏损后，两年的总盈利为1490万元，且使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？

Answer 1

分析：（1）销售量是用20万件减去因价格上涨而导致销量减小的量，据此可以列出函数关系式．
（2）根据条件，求出二次函数解析式，从中找出最值以及相应的自变量范围．
（3）根据两年的总盈利为1490万元列出一元二次方程求解即可．

解答：解：（1）y=20-

x-100

10

=-0.1x+30；

（2）W=（x-40）（-0.1x+30）-1800
=-0.1x²+34x-3000
=-0.1（x-170）²-110…（5分）
∵不论x取何值，-0.1（x-170）²≤0，
∴W=-0.1（x-170）²-110＜0，
即：不论销售单价定为多少，该公司投资的第一年肯定是亏损 
∵100＜x≤200
∴当x=170时，第一年最少亏损110万元．

（3）依题意得
（x-40）（-0.1x+30）-110=1490  
解之得x₁=140   x₂=200  
∵k=-0.1＜0，∴y随x增大而减小，
∴要使销量最大，售价要最低，即x=140元；

点评：此题考查了二次函数的应用，为数学建模题，借助二次函数及一元二次方程解决实际问题．