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    19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线y=-x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．
    （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
    （2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
    （3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

    分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组，然后可求得b、c的值，于是可得到抛物线的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+n，将点A、B的坐标代入可求得k、n的值，可得到直线AB的解析式；
    （2）由题意得：OE=t，AF=$\sqrt{2}$t，则AE=3-t．当△AEF为等腰直角三角形时，有∠AEF=90°和∠AFE=90°两种情况，然后在Rt△AEF中，利用特殊锐角三角函数列方程求解即可；
    （3）过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交AB与点D．设点P的坐标为（a，-a2+2a+3），则D（a，-a+3）然后列出PD的长与a的函数关系式，利用配方法可求得PD的最大值，以及点P的坐标，然后依据△ABP的面积=$\frac{1}{2}$DP•（xA-xB）可求得△ABP的面积的最大值．

    解答 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得b=2，c=3．
    ∴y=-x2+2x+3．
    设直线AB的解析式为y=kx+n，将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，n=3，
    ∴直线AB的解析式为y=-x+3．

    （2）由题意得：OE=t，AF=$\sqrt{2}$t，
    ∴AE=OA-OE=3-t．
    ∵OA=OB，∠BOA=90°，
    ∴∠BAO=45°．
    ∵△AEF为等腰直角三角形，∠FAE=45°，
    ∴∠AEF=90°，或∠AFE=90°．
    当∠AEF=90°时，$\frac{AE}{AF}$=cos45°，即$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=$\frac{3}{2}$；
    当∠AFE=90°时，$\frac{AF}{AE}$=cos45°，即$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：t=1．
    综上所述可知当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△AEF为等腰直角三角形．

    （3）存在．
    如图所示：过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交AB与点D．

    设点P的坐标为（a，-a2+2a+3），则D（a，-a+3），PD=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a=-（a-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$．
    ∴当a=$\frac{3}{2}$时，PD有最大值，即△ABP的面积有最大值，PD的最大值为$\frac{9}{4}$
    ∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
    ∵△ABP的面积=$\frac{1}{2}$DP•（xA-xB）=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$．
    ∴△ABP的面积的最大值为$\frac{27}{8}$，此时点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

    点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰三角形的判定和性质、特殊锐角三角函数值的应用，二次函数的性质，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得PD的最大值是解答问题（3）的关键．

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    （1）求抛物线的表达式；
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    7．下列计算正确的是（　　）
    A．x4+x2=x6B．（a+b）2=a2+b2C．（3x2y）2=6x4y2D．（-m）7÷（-m）2=-m5

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    4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E、F都对角线AC上，且AE=EF=FC，则线段BE和DF的距离为（　　）
    A．$\frac{2\sqrt{5}}{3}$B．1C．$\frac{3\sqrt{17}}{17}$D．$\frac{4\sqrt{17}}{17}$

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    11．已知∠ACB=90°，AC=BC，D为平面内一点，AD⊥BD于D，连接DA，DB，DC．
    （1）如图①，求证：DA+DB=$\sqrt{2}$DC；
    （2）如图②，图③，线段DA．DB，DC之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，不需要证明；
    （3）在（1），（2）的条件下，连按AB，若AB=6$\sqrt{2}$，∠DCB=30°，则CD=3$\sqrt{3}$+3．

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