Question

6．如图，抛物线y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+c相交于A（0，1），B（3，$\frac{5}{2}$）两点，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，在线段AB上方的抛物线上取一点D，过D作DF⊥x轴，垂足为点F，交AB于点E．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求DE的最大值；
（3）连接BD、CE，四边形BDEC能否成为平行四边形？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用已知表示出D，E点坐标，再利用二次函数最值求法得出答案；
（3）利用平行四边形的性质得出只需BC=DE，四边形BDEC即为平行四边形，进而求出答案．

解答 解：（1）把A（0，1）、B（3，$\frac{5}{2}$）两点坐标代入y=-$\frac{5}{4}$x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{-\frac{45}{4}+3b+c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{b=\frac{17}{4}}\end{array}\right.$，
所以y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1；

（2）由（1）得直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+1，
设点D的横坐标为x，则
点D、E的坐标分别为（x，-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1），（x，$\frac{1}{2}$x+1）
所以DE=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x=-$\frac{5}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，DE的最大值为$\frac{45}{16}$；

（3）能．理由如下：
因为BC∥DE，所以只需BC=DE，四边形BDEC即为平行四边形．
由题意可得BC=$\frac{5}{2}$，
所以DE=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x=$\frac{5}{2}$，
解方程-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{15}{4}$x=$\frac{5}{2}$，
解得：x=1，或x=2，
代入y=-$\frac{5}{4}$x²+$\frac{17}{4}$x+1，得y=4或$\frac{9}{2}$，
所以点D的坐标为（1，4）或（2，$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练利用平行四边形的性质得出BC=DE是解题关键．