Question

【题目】四边形ABCD的对角线AC将其分割成两个三角形：

（1）如图1．若∠BAC=∠DAC，AB＞AD，求证：AB－AD＞CB－CD．

（2）如图2．若∠ACD+∠BAC=180°，∠B=∠D，求证：BC=AD．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】

(1)在线段AB上取一点E，使得AE=AD，结合已知条件可以证得△AEC≌△ADC，根据全等的性质得出线段相等，再利用三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边即可得出结果；

(2) 过点A作AE垂直于DC的延长线于点E，过点C作CF垂直AB于点F，根据已知条件可证得△CFA≌△AEC，从而证得△BCF≌△DAE，即可得出结果．

(1)证明：如图所示，在线段AB上取一点E，使得AE=AD，

在△AEC和△ADC中

∴△AEC≌△ADC，

∴EC=CD，

∵CB-EC<BE，

∴CB-CD<AB-AE，

∴CB-CD<AB-AD，

∴AB-AD>CB-CD．

(2)证明：如图所示，过点A作AE垂直于DC的延长线于点E，过点C作CF垂直AB于点F

∵∠ACD+∠BAC=180°，∠ACD+∠ACE=180°，

∴∠BAC=∠ACE，

在△ACE和△ACF中

∴△CFA≌△AEC，

∴CF=AE，

在△BCF和△DAE中

∴△BCF≌△DAE，

∴AD=BC．