Question

2．如图，△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，连接A₂B₁并延长到点B₂，使A₂B₁=B₁B₂，以A₂B₂为边作等边△A₂B₂C₂，A₃为等边△A₂B₂C₂的中心，连接A₃B₂并延长到点B₃，使A₃B₂=B₂B₃，以A₃B₃为边作等边△A₃B₃C₃，依次作下去得到等边△A_nB_nC_n，则等边△A₆B₆C₆的边长为$\frac{32\sqrt{3}}{27}$．

Answer 1

分析 作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，根据等边三角形的中心的性质得∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$，利用余弦的定义得cos∠A₂B₁D₁=cos30°=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{{A}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可计算出A₂B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由A₂B₁=B₁B₂得到A₂B₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，用同样的方法可计算出A₃B₃=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，特殊的结论．

解答 解：作A₂D₁⊥A₁B₁于D₁，A₃D₂⊥A₂B₂于D₂，如图，
∵△A₁B₁C₁是边长为1的等边三角形，A₂为等边△A₁B₁C₁的中心，
∴∠A₂B₁D₁=30°，B₁D₁=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠A₂B₁D₁=cos30°=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{{A}_{2}{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A₂B₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A₂B₁=B₁B₂，
∴A₂B₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理可得∠A₃B₂D₂=30°，B₂D₂=$\frac{1}{2}$A₂B₂=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠A₃B₂D₂=cos30°=$\frac{{B}_{2}{D}_{2}}{{A}_{3}{B}_{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A₃B₂=$\frac{2}{3}$，
∵A₃B₂=B₂B₃，
∴A₃B₃=$\frac{4}{3}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
同理可得A₄B₄=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）³，
A₅B₅=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）⁴．A₆B₆C=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）⁵=$\frac{32\sqrt{3}}{27}$，
故答案为$\frac{32\sqrt{3}}{27}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了特殊角的三角函数值．