Question

如图①所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是经过点A的直线，BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E．
（1）求证：DE=DB+EC
（2）如图②，将MN绕点A旋转，使MN和BC交于G点，其他条件不变，结论（1）还成立吗？若成立请给出证明；若不成立，请探究CE、DB、DE的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出△ABD≌△CEA，根据全等三角形性质得出BD=AE，DA=CE，即可得出答案．
（2）求出△ABD≌△CAE，推出BD=AE，CE=AD，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠CEA=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠EAC=90°，∠ECA+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD与△CEA中，

∠DAB=∠ECA ∠ADB=∠CEA AB=AC

∴△ABD≌△CEA，
∴BD=AE，DA=CE，
∵DE=DA+AE，
∴DE=DB+EC．

（2）（1）的结论不成立，CE、DB、DE的关系是：BD=CE+DE，
证明：证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACE=90°，∠BDA=∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中

∠BDA=∠AEC ∠BAD=∠ACE AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）；
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE=AD+DE，
∴BD=CE+DE．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等，证明过程类似．