Question

已知：如图，AB为⊙O的弦，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD为⊙O的直径，CD交AB于E，DE=2，AE=3，BE=6，则PB=（　　）

A．9

B．12

C．15

D．6

Answer 1

分析：过O作OF垂直于AB，利用垂径定理得到F为AB的中点，由AB的长求出AF的长，再由AF-AE求出EF的长，利用相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，求出EC的长，由DE+EC求出直径DC的长，确定出半径OD的长，由OD-DE求出OE的长，由CP为圆O的切线，得到EC垂直于CP，得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形EFO与三角形ECP相似，由相似得比例，将各自的值代入即可求出PB的长．

解答：解：过O作OF⊥AB，交AB于点F，
又AE=3，BE=6，
∴AF=BF=

1

2

AB=

1

2

（AE+BE）=4.5，
∴EF=AF-AE=4.5-3=1.5，
由相交弦定理得到AE•BE=DE•EC，
∵DE=2，AE=3，BE=6，
∴EC=

AE•BE

DE

=9，
∴圆的直径DC=DE+EC=2+9=11，半径OD=5.5，
∴OE=OD-DE=5.5-2=3.5，
∵CP为圆O的切线，∴∠ECP=90°，
∴∠EFO=∠ECP=90°，且∠FEO=∠CEP，
∴△EFO∽△ECP，
∴

EF

EC

=

EO

EP

=

EO

EB+BP

，即

1.5

9

=

3.5

PB+6

，
解得：PB=15．
故选C

点评：此题考查了切线的性质，垂径定理，相交弦定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．