Question

如图，已知△ABC中BC边上的垂直平分线DE与∠BAC得平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交于点G．求证：
（1）BF=CG；
（2）AF=

1

2

（AB+AC）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE即可；
（2）求出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．

解答：证明：（1）
连接BE和CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠BFE=∠EGC=90°，EF=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中

BE=EG EF=EG

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF=CG；

（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中

∠FAE=∠GAE ∠AFE=∠AGE AE=AE

∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴

1

2

（AB+AC）=

1

2

（AF-BF+AG+CG）
=

1

2

（AF+AF）
=AF，
即AF=

1

2

（AB+AC）．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．