Question

【题目】如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．

（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在于AB相等的线段？若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．

（2）如图2，当DE=kDF（其中0<k<1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）存在，AB=BE，理由见解析；（2）BD=；

【解析】试题（1）存在，AB=BE，理由如下：

延长BA、EF交于点G，连接AE，由已知可得∠EDG＝∠AFG，又∠G＝∠G为公共角，从而可得△GAF∽△ＧＥＤ，所以，又∠G＝∠G，从而可得△GAE∽△ＧＦＤ，所以有∠ADF＝∠AEF，由∠ADF+∠DEC＝１８０°，∠DEC+∠BED＝１８０°，可得∠AEF＝∠DEB，从而得∠BEA=∠DEF，由于DE=DF，可得∠DEF=∠DFE，从而可得∠DAE=∠BEA，继而得AB=EB；

（2）连接AE，由（1）知，∠AEF=∠DEB，∠AFE=∠BDE，从而可得△EDB∽△EFA，继而可得，∠B=∠EAF，由∠BAC=90°，从而可得∴∠AEB=90°继而可得∠DEF=90°，由DE=kDF，可得EF=DF，从而可得BD=．

试题解析：（1）存在，AB=BE，理由如下：

延长BA、EF交于点G，连接AE，∵∠BDE+∠EDG＝１８０°，∠AFE+∠AFG＝１８０°，∠AFE＝∠BDE，∴∠EDG＝∠AFG，又∵∠G＝∠G，∴△GAF∽△ＧＥＤ，∴，又∵∠G＝∠G，∴△GAE∽△ＧＦＤ，∴∠ADF＝∠AEF，∵∠ADF+∠DEC＝１８０°，∠DEC+∠BED＝１８０°，∴∠AEF＝∠DEB，∴∠BEA=∠DEF，∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠DAE=∠G+∠AEF，∠DFE=∠G+∠ADF，∴∠DAE=∠BEA，∴AB=EB；

（2）连接AE，由（1）知，∠AEF=∠DEB，∠AFE=∠BDE，∴△EDB∽△EFA，∴，∠B=∠EAF，∵∠BAE+∠EAF=∠BAC=90°，∴∠B+∠BAE=90°，∴∠AEB=90°，即∠BED+∠AED=90°，∴∠AED+∠AEF=90°，即∠DEF=90°，∴EF2=DF2-DE2，∵DE=kDF，∴EF=DF，∴，即，∴BD=