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已知：如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为 $数学公式$ ．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点P，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．

解：（1）由点B（0，3），可知 OB=3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OA=1，
∴点A（-1，0）
∵由抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B，代入得：
$\text{[math]}$ ，
∴b=2，c=3，
∴所求抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）该抛物线的对称轴是直线l为x=1，
∵由题意知：点B关于直线l的对称点为C，
∴点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点，
∴DE=1，
∵点D是△PBC的重心，
∴PD=2DE=2，
即得：PE=3，
∵由点P在直线l上，
∴点P的坐标为（1，6）；

（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD=2，可知将抛物线y=-x²+2x+3向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为y=-x²+2x+5，
设点M的坐标为（m，n）．
△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，
于是，由△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，
得|m-1|=2．
解得：m₁=-1，m₂=3．
∵点M在抛物线y=-x²+2x+5上，
∴n₁=2，n₂=2，
∴点M的坐标分别为M₁（-1，2）、M₂（3，2）．
分析：（1）求出OB，根据已知得出tan∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出OA，即可求出A的坐标，代入抛物线即可求出抛物线的表达式，化成顶点式即可求出D的坐标；
（2）求出C的坐标，求出E的坐标，得出DE，求出PD、PE，即可得出P的坐标；
（3）根据P、D的坐标得出抛物线向上平移两个单位即可得出新抛物线，设点M的坐标为（m，n）．求出△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，根据面积得出|m-1|=2，求出m，代入抛物线求出n即可．
点评：本题考查了平移性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，轴对称的性质等知识点的应用，本题综合性比较强，有一定的难度，主要培养了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．

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已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，

与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在

此抛物线上，矩形面积为12，
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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（2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1-

，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比

-1

（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：

≈2.236，

≈2.449，结果精确到0.001）

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已知，如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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已知，如图，抛物线y=x²+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
（1）求p、q的值．
（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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