Question

在等腰△ABC中，CD是底边AB上的高，E是腰BC的中点，AE与CD交于F，现给出三条路线：
（a）A→F→C→E→B→D→A；
（b）A→C→E→B→D→F→A；
（c）A→D→B→E→F→C→A；
它们的长度分别记为L（a）、L（b）及L（c），则L（a）＜L（b），L（a）＜L（c），L（b）＜L（c）中一定能成立的是______．

Answer 1

依题意，知F是△ABC的重心．

∴CF=aDF，AF=a0F，AF=BF，
∵L（a）=AF+FC+CB+BA
L（c）=AB+B0+0F+FC+CA
∴L（c）-L（a）=（AB-BD）+（0F-FA）+（FC-DF）-C0=AD+DF-C0-0F
当△ABC为等边三角形时，AD=C0，DF=0F，此时有L（a）-L（b）=FC+DA-AC-DF=DF+DA-AC由于当∠ACB较大时，AC与AD可以很接近，取CD足够长可使L（a）＞L（b），如取∠ACB=ba0°，AC=BC=b，则AD=

3

a

，CD=

b

a

DF=

b

6

∴L（a）-L（b）=

3

a

+

b

6

-b=

3 3 +b

6

-b＞0故L（a）＜L（b）不恒成立．
故答案为L（a）＜L（b）．