Question

4．如图1，二次函数y=$\frac{3}{4}$x²+bx+c与一次函数y=$\frac{3}{4}$x-3的图象都经过x轴上点A（4，0）和y轴上点B（0，-3），过动点M（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点P．
（1）求b，c的值；
（2）点M在运动的过程中，能否使△PBC为直角三角形？如果能，求出点P的坐标；如果不能，请说明理由；
（3）如图2，过点P作PD⊥AB于点，设△PCD的面积为S₁，△ACM的面积为₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{36}{25}$，
①求m的值；
②如图3，将线段OM绕点O顺时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接M'A、M'B，求M'A+$\frac{2}{3}$M'B的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形讨论即可．①当∠PBC=90°时（如图1-1中），作PK⊥y轴于K．②当∠BPC=90°时（如图1-2中），BP∥x轴．分别列出方程即可解决问题．
（3）①由△PCD∽△ACM，可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²=$\frac{36}{25}$，推出$\frac{PC}{AC}$=$\frac{6}{5}$，由CM∥OB，推出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AM}{AO}$，推出AC=$\frac{5}{4}$（4-m），由抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，可得PC=$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m，列出方程，即可解决问题．
②如图3中，在y轴上取一点E，使得OE=$\frac{4}{3}$，连接M′E，AE．由OM′=2，OE•OB=$\frac{4}{3}$×3=4，推出OM²=OE•OB，推出$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{OE}{OM′}$，由∠M′OE=∠BOM′，可知△M′OE∽△BOM′，推出$\frac{M′E}{BM′}$=$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{2}{3}$，推出M′E=$\frac{2}{3}$BM′，所以AM′+$\frac{2}{3}$BM′=AM′+M′E，所以当A、M′、E共线时，AM′+$\frac{2}{3}$BM′的值有最小值．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{9}{4}}\\{c=-3}\end{array}\right.$．

（2）若△PBC为直角三角形，显然∠PCB≠90°．
①当∠PBC=90°时（如图1-1中），作PK⊥y轴于K，则∠PBK=∠BAO=90°-∠ABO，
∴tan∠PBK=$\frac{m}{-3-（\frac{3}{4}{m}^{2}-\frac{9}{4}m-3）}$=$\frac{3}{4}$，
解得m=$\frac{11}{9}$或0（舍弃），
∴P（$\frac{11}{9}$，-$\frac{125}{27}$），

②当∠BPC=90°时（如图1-2中），BP∥x轴，
当y=-3时，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3=-3，解得m=3或0（舍弃），
∴P（3，-3），
综上所述，满足条件的点P坐标（$\frac{11}{9}$，-$\frac{125}{27}$）或（3，-3）．

（3）①如图2中，∵PD⊥AB，PM⊥OA，
∴∠PDC=∠AMC，
∵∠PCD=∠ACM，
∴△PCD∽△ACM，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{PC}{AC}$）²=$\frac{36}{25}$，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{6}{5}$，
∵CM∥OB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AM}{AO}$，
∴AC=$\frac{5}{4}$（4-m），
∵抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{9}{4}$x-3，
∴PC=$\frac{3}{4}$m-3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{9}{4}$m-3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m，
∴$\frac{-\frac{3}{4}{m}^{2}+3m}{\frac{5}{4}（4-m）}$=$\frac{6}{5}$，
解得m=2或4（舍弃），
∴m=2．

②如图3中，在y轴上取一点E，使得OE=$\frac{4}{3}$，连接M′E，AE．
∵OM′=2，OE•OB=$\frac{4}{3}$×3=4，
∴OM²=OE•OB，
∴$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{OE}{OM′}$，
∵∠M′OE=∠BOM′，
∴△M′OE∽△BOM′，
∴$\frac{M′E}{BM′}$=$\frac{OM′}{OB}$=$\frac{2}{3}$，
∴M′E=$\frac{2}{3}$BM′，
∴AM′+$\frac{2}{3}$BM′=AM′+M′E，
∴当A、M′、E共线时，AM′+$\frac{2}{3}$BM′的值有最小值=AE=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查二次函综合题、相似三角形的判定和性质、待定系数法、直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考压轴题．