如图1.抛物线与x轴交于点A.与y轴交于点C.直线l是它的对称轴.将△AOC沿AC翻折.点O恰好落在BC边上的点G处．(1)示点C的坐标.写求抛物线的解析式,(2)如图2.线段CB上有一动点P.从C点开始以每秒1个单位的速度向B点运动.过点P作PM⊥BC交线段CA于点M.记点P运动时间为t.△CPO与△CPM的面积之差为y.求y与t之间的关系式.并写出自变量t的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．如图1，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（8，0），与y轴交于点C，直线l是它的对称轴，将△AOC沿AC翻折，点O恰好落在BC边上的点G处．

（1）示点C的坐标，写求抛物线的解析式；
（2）如图2，线段CB上有一动点P，从C点开始以每秒1个单位的速度向B点运动，过点P作PM⊥BC交线段CA于点M，记点P运动时间为t，△CPO与△CPM的面积之差为y，求y与t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的基础上，t取何值时y有最大值，并求出最大值．

分析（1）利用A（3，0），B（8，0）的横坐标，求出直线l表达式，即3与8的平均数即为l的表达式；
（2）过点P作PL⊥OC，垂足为L，则∠CPL=∠B，由题意得CP=t，则LP=CP，表示出△CPO的面积为：$\frac{1}{2}$OC•PL=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4t}{5}$=$\frac{12t}{5}$，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面积为$\frac{1}{2}$CP•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{t}{2}$=$\frac{1}{4}$t²，从而得到y=$\frac{12t}{5}$-$\frac{1}{4}$t²（0＜t≤6）；（0＜t≤6），（3）将（2）中函数解析式配方成顶点式，进而求出最大值．

解答解：（1）∵AC平分∠OCB，
∴AG=OA=3，CG=OC，AB=5，
∴GB=4．
设OC=x则CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐标为（0，6）．
设抛物线解析式为：y=a（x-3）（x-8），将点C坐标代入可得a=$\frac{1}{4}$
∴y=$\frac{1}{4}$（x-3）（x-8）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{11}{4}$x+6；

（2）过点P作PL⊥OC，垂足为L，

则∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{3}{5}$，cos∠B=$\frac{4}{5}$，
由题意得CP=t，则LP=CPcos∠B=$\frac{4t}{5}$，
△CPO的面积为：$\frac{1}{2}$OC•PL=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{4t}{5}$=$\frac{12t}{5}$，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA=$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PM=$\frac{t}{2}$．
△CPM的面积为：$\frac{1}{2}$CP•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{t}{2}$=$\frac{1}{4}$t²，
∴y=$\frac{12t}{5}$-$\frac{1}{4}$t²（0＜t≤6）；

（3）∵y=$\frac{12t}{5}$-$\frac{1}{4}$t²=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{24}{5}$）²+$\frac{144}{25}$，
∴当t=$\frac{24}{5}$时，y有最大值为$\frac{144}{25}$．

点评本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、动点问题、函数最值、配方法等知识，是一道综合性很强的题目，有一定难度．

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