Question

如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径，BD平分∠CBQ交⊙O于点D，过点D作DE⊥PQ，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）连接AD，己知BC=10，BE=2，求sin∠BAD的值．

Answer 1

考点：切线的判定,锐角三角函数的定义

专题：几何图形问题

分析：（1）连结OD，利用角平分线的定义得∠CBD=∠QBD，而∠OBD=∠ODB，则∠ODB=∠QBD，于是可判断OD∥BQ，由于DE⊥PQ，根据平行线的性质得OD⊥DE，则可根据切线的判定定理得到DE与⊙O相切；
（2）连结CD，根据圆周角定理由BC是⊙O的直径得到∠BDC=90°，再证明Rt△BCD∽△BDE，利用相似比可计算出BD=2

5

，在Rt△BCD中，根据正弦的定义得到sin∠C=

BD

BC

=

5

5

，然后根据圆周角定理得∠BAD=∠C，即有sin∠BAD=

5

5

．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵BD平分∠CBQ交⊙O于点D，
∴∠CBD=∠QBD，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠QBD，
∴OD∥BQ，
∵DE⊥PQ，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；

（2）解：∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠CBD=∠QBD，
∴Rt△BCD∽△BDE，
∴

BD

BE

=

BC

BD

，即

BD

2

=

10

BD

，
∴BD=2

5

，
在Rt△BCD中，sin∠C=

BD

BC

=

2 5

10

=

5

5

，
∵∠BAD=∠C，
∴sin∠BAD=

5

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、锐角三角函数和相似三角形的判定与性质．