Question

9．如图，已知矩形ABOC的对角线相交于点D，O为坐标原点，OC在x轴的正半轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）经过点D，与边AC相交于点E．若OC²=CE•CA，则直线OA的解析式为y=2x．

Answer 1

分析 过D作DF⊥OC于F，设D（m，$\frac{k}{m}$），则E（2m，$\frac{k}{2m}$），A（2m，$\frac{2k}{m}$），利用OC²=CE•CA，求出k、m关系，得到点D坐标（m，2m），再利用待定系数法确定直线OA解析式即可．

解答 解：过D作DF⊥OC于F，
∵四边形ABOC是矩形，
∴AD=OD=CD，DF∥AC，
∴OC=2OF，
设D（m，$\frac{k}{m}$），
∴AC=$\frac{2k}{m}$，OC=2m，
∵E在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上，
∴E（2m，$\frac{k}{2m}$），A（2m，$\frac{2k}{m}$），
∴CE=$\frac{k}{2m}$，
∵OC²=CE•CA，
∴4m²=$\frac{k}{2m}$•$\frac{2k}{m}$，
∴k=2m²，
∴点D坐标（m，2m），
设直线OA为y=kx，则2m=km，
∴k=2，
∴直线OA为：y=2x．
故答案为y=2x．

点评 本题考查矩形的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是设参数利用已知条件求出参数之间关系，学会待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．