Question

若关于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：分类讨论：（1）当x≥3，方程变为：x²+（a-8）x+15-5a=0，△＞0，即△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²＞0，∴a+2≠0，即a≠-2，并且求出方程的解都要大于或等于3，再得到a≤0，此时实数a的取值范围是a≤0，且a≠-2，（2）当x＜3，方程变为：x²-（a+4）x+a+3=0，用同样的方法求出a的取值范围；最后综合得到实数a的取值范围．

解答：解：当x≥3，方程变为：x²+（a-8）x+15-5a=0，
∵方程有两个不同的实数根，
∴△＞0，即△=（a-8）²-4（15-5a）=（a+2）²＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此时方程的根为x=

8-a± (a+2)2

2

=

8-a±(a+2)

2

，
则x₁=5，x₂=3-a．而x≥3，所以有3-a≥3，即a≤0，
此时实数a的取值范围是a≤0，且a≠-2．
当x＜3，方程变为：x²-（a+4）x+a+3=0，
∵方程有两个不同的实数根，
∴△＞0，即△=（a+4）²-4（a+3）=（a+2）²＞0，
∴a+2≠0，即a≠-2．
此时方程的根为x=

a+4±  (a+2) 2

2

=

a+4±(a+2)

2

，
则x₁=1，x₂=3+a．而x＜3，所以有3+a＜3，即a＜0．
实数a的取值范围是a＜0且a≠-2．
综上所述，实数a的取值范围是a≤0，且a≠-2．
故答案为a≤0，且a≠-2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．同时考查了分类讨论的思想方法的运用．