Question

17．已知△ABC是边长为5的等边三角形．
如图，若P是BC上一点，过点C、P分别作AB、AC的平行线，两线相交于点Q，连BQ，AP延长线交BQ于D，试问，线段AD、BD、CD之间是否一定满足某种等量关系？请写出它们之间等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，由平行线的性质得到∠QCP=∠ABC=60°，同理，∠CPQ=60°，推出△PCQ为等边三角形，于是得到CQ=CP，推出△BCQ≌△ACP，根据全等三角形的性质得到∠CBQ=∠CAP，在AP上截取点E，使AE=BD，证得△BCD≌△ACE，由全等三角形的性质得到CD=CE，∠ACE=∠BCD，推出△CDE为等边三角形，等量代换即可得到结论．

解答 解：AD=BD+CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC，
∵CQ∥AB，
∴∠QCP=∠ABC=60°，
同理，∠CPQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴CQ=CP，
在△BCQ与△ACP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCQ=∠ACB}\\{CQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△BCQ≌△ACP，
∴∠CBQ=∠CAP，
在AP上取点E，使AE=BD，
在△BCD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBQ=∠CAP}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACE+∠ECB=60°，
∴∠BCE+∠BCD=∠ECD=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴CD=ED，
∴AD=AE+ED=BD+CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．