Question

（2013•嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC²=CD•CA．
（1）求证：∠A=∠CBD；
（2）当∠A=α，BC=2时，求AD的长（用含α的锐角三角比表示）．

Answer 1

分析：（1）根据BC²=CD•CA，∠ACB=∠BCD，得出△ACB∽△BCD，即可证出∠A=∠CBD；
（2）根据∠A=∠CBD，∠A=α，得出∠CBD=α，根据cot∠A=

AC

BC

，得出AC=BC•cotα=2•cotα，再根据tan∠CBD=

CD

BC

，得出CD=BC•tanα=2tanα，即可得出AD=AC-CD=2cotα-2tanα；

解答：解：（1）∵BC²=CD•CA，
∴

BC

CD

=

CA

BC

，
∵∠ACB=90°，点D在AC边上，
∴∠ACB=∠BCD，
∴△ACB∽△BCD，
∴∠A=∠CBD；
（2）∵∠A=∠CBD，∠A=α，
∴∠CBD=α，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=α，
∵cot∠A=

AC

BC

，
∴AC=BC•cotα=2•cotα，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=α，BC=2，
∵tan∠CBD=

CD

BC

，
∴CD=BC•tanα=2tanα，
∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα；

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是证出△ACB∽△BCD，根据解直角三角形求出AC和CD的值．