Question

10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A、D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 连结EO并延长交AD于F，如图，由切线的性质得OE⊥BC，再利用平行线的性质得到OF⊥AD，则根据垂径定理得到AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=6，易得四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，然后在Rt△AOF中利用勾股定理得到（8-r）²+6²=r²，再解方程求出r即可．

解答 解：连结EO并延长交AD于F，如图，
∵⊙O与BC边相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AD=6，
易得四边形ABEF为矩形，则EF=AB=8，设⊙O的半径为r，则OA=r，OF=8-r，
在Rt△AOF中，∵OF²+AF²=OA²，
∴（8-r）²+6²=r²，解得r=$\frac{25}{4}$，
即⊙O的半径为$\frac{25}{4}$．
故答案为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建直角三角形，利用勾股定理建立关于半径的方程．