Question

如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，

BC

=

BD

，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=

3

4

，求线段BC、CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）由BF是⊙O的切线得到AB⊥BF，进而得出AB⊥CD，由此即可证明CD∥BF；
（2）连接BD，由AB是直径得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，所以cos∠BAD=

AD

AB

，然后利用三角函数即可求出AD的长，进而利用勾股定理求出BD的长，即可得出BC的长；由于cos∠DAE=

AE

AD

，而AD=6，由此求出AE，接着利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．

解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∵

BC

=

BD

，
∴AB⊥CD，
∴CD∥BF；

（2）解：连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BCD=∠BAD，cos∠BCD=

3

4

，
∴cos∠BAD=

AD

AB

，
又∵AB=8，
∴AD=6，
∴BC=6；
∵∠BCD=∠DAE，
∴cos∠BCD=cos∠DAE=

AE

AD

，AD=6，
∴AE=ADcos∠DAE=6×

3

4

=

9

2

，
∴ED=

62-( 9 2 )2

=

3 7

2

，
∴CD=2ED=3

7

．

点评：本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．