Question

探索问题：（1）比较下列数的大小：______，______，______．
（2）根据上述规律，可以得出下面的结论：一个真分数（a、b均为正数），给其分子、分母同加上一个正数m，得，则这两个分数的大小关系是：______．
（3）请你用文字叙述（2）中的结论：______；
（4）请你用图形的面积说明（2）中结论的正确性．
（5）请你用已学的其他数学知识说明（2）中结论的正确性．
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决生活中许多与数学有关的问题．请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子．

Answer 1

解：（1）通过分母通分得到分母相同的分式，然后比较分子大小得出结果．
∴，，；

（2）有第一问的结果可得出规律：分子分母同时加上一个正数比值变大．
所以：＜；

（3）两正数的比值小于他们同时加上一个正数的比值；

（4）如图
矩形BEFG和矩形ABCD，
∵a＜b，
∴am＜bm，
∴am+ab＜bm+ab，
即a（m+b）＜b（m+a），
∴＜；

（5）将两分式统分得分母为b（b+m），分子分别为a（b+m），
b（a+m）分子相减得（a-b）m，
由于是真分式，
则a＜b，
所以（a-b）m小于0，即＜；


（6）一杯糖水共b克，里面含有a克糖，糖的浓度为，然后往里放m克糖，
糖的浓度为：，
放入糖后糖水变的更甜了，
所以加入糖后糖的浓度变大了，
所以．
分析：（1）对于第一问的分式大小比较，通过通分比较大小；
（2）根据第一问的解找出规律：＜求解第二问；
（3）用文字描述第二问得到的规律，两正数的比值小于他们同时加上一个正数的比值；
（4）分别以a，b为边长作矩形，又延长a，b同样长m，得三矩形面积分别为：ab，am，bm，然后根据长方形的面积比较两数大小；
（5）利用通分比较两式的大小；
（6）利用生活中的糖水的浓度问题来比较两式大小．
点评：此题是一个开放性试题，对于学生的要求比较高，首先根据第一问得出规律，然后用不同的方法证明次推论的正确性．本题意在考查用不同的方式比较两分式的大小，考查学生的发散思维．