Question

如图，已知⊙O的直径AB的长是4cm，点C在⊙O上，过点C的直径与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求弦BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，又∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠AOC，等量代换得到∠OCP=90°，证明PC是⊙O的切线．
（2）在直角△ABC中，由AC=PC，∠COB=2∠A，以及（1）的结论得到∠A=30°，然后求出线段BC的长度．

解答：解：（1）∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=∠A+∠ACO，
∴∠COB=2∠A
又∵∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°
∴即OC⊥CP
而OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．

（2）∵AC=PC
∴∠A=∠P
∵∠A=∠ACO=∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠COB=∠CBO
∴BC=OC
∴BC=

1

2

×4=2（cm）

点评：本题考查的是切线的判定，（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及题目中所给出的角度的关系，可以得到∠OCP=90°，证明PC是⊙O的切线．（2）在直角三角形中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可以求出线段BC的长．