Question

2．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．
（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；
（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，再根据矩形的性质可得出S_△ACD=S_△ABC，S_△PHC=S_△PCF，S_△AEP=S_△APG，由此即可得出S_△ACD-S_△PHC-S_△AEP=S_△ABC-S_△PCF-S_△APG，即S_矩形DEPH=S_矩形PGBF．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∵PF∥AB，
∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠PCH．
∵PH∥AD，
∴PH∥BC，
∴∠PCF=∠CPH．
在△PHC和△CFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠PCH}\\{PC=CP}\\{∠PCF=∠CPH}\end{array}\right.$，
∴△PHC≌△CFP（ASA）．

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠B=90°．
又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．
∵EF∥AB，HG∥BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形AEPG和四边形PHCF也是矩形，
∴S_△ACD=S_△ABC，S_△PHC=S_△PCF，S_△AEP=S_△APG，
∴S_△ACD-S_△PHC-S_△AEP=S_△ABC-S_△PCF-S_△APG，
即S_矩形DEPH=S_矩形PGBF．

点评 本题考查了矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）通过平行找出相等的角；（2）利用矩形的判定定理来证明四边形为矩形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据结合矩形的性质及全等三角形的判定定理来解决问题是关键．