【题目】(1)阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图1,点P是等边三角形ABC内一点,PA=1,PB=,PC=2.求∠BPC的度数.
为利用已知条件,不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C,连接PP′,则PP′的长为_____;在△PAP′中,易证∠PAP′=90°,且∠PP′A的度数为_____,综上可得∠BPC的度数为_____;
(2)类比迁移
如图2,点P是等腰Rt△ABC内的一点,∠ACB=90°,PA=2,PB=,PC=1,求∠APC的度数;
(3)拓展应用
如图3,在四边形ABCD中,BC=3,CD=5,AB=AC=AD.∠BAC=2∠ADC,请直接写出BD的长.
【答案】(1)2;30°;90°;(2)∠APC=90°;(3)BD=.
【解析】
(1)由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形,由等边三角形的性质知∠CP′P=60°,根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形,继而可得答案.
(2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′,同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是直角三角形,所以∠APC=90°;
(3)如图3,将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,根据勾股定理求CG的长,就可以得BD的长.
解:(1)把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C,连接PP′(如图1).
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形;
∴P′A=PB=、∠CP′P=60°、P′P=PC=2,
在△AP′P中,∵AP2+P′A2=12+()2=4=PP′2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠P′AP=90°.
∵PA=PC,
∴∠AP′P=30°;
∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°.
故答案为:2;30°;90°;
(2)如图2,把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C,连接PP′.
由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形;
∴P′C=PC=1,∠CPP′=45°、P′P=,PB=AP'=,
在△AP′P中,∵AP'2+P′P2=()2+()2=2=AP2;
∴△AP′P是直角三角形;
∴∠AP′P=90°.
∴∠APP'=45°
∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°
(3)如图3,
∵AB=AC,
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG,连接DG.则BD=CG,
∵∠BAD=∠CAG,
∴∠BAC=∠DAG,
∵AB=AC,AD=AG,
∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD,
∴△ABC∽△ADG,
∵AD=2AB,
∴DG=2BC=6,
过A作AE⊥BC于E,
∵∠BAE+∠ABC=90°,∠BAE=∠ADC,
∴∠ADG+∠ADC=90°,
∴∠GDC=90°,
∴CG=,
∴BD=CG=.
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【题目】如图,矩形ABCD,AD=1,CD=2,点P为边CD上的动点(P不与C重合),作点P关于BC的对称点Q,连结AP,BP和BQ,现有两个结论:①若DP≥1,当△APB为等腰三角形时,△APB和△PBQ一定相似;②记经过P,Q,A三点的圆面积为S,则4π≤S<.
下列说法正确的是( )
A. ①对②对B. ①对②错C. ①错②对D. ①错②错
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B坐标为(4,6),点P为线段OA上一动点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PE⊥CP交AB于点D,且PE=PC,过点P作PF⊥OP且PF=PO(点F在第一象限),连结FD、BE、BF,设OP=t.
(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示):_____;
(2)四边形BFDE的面积记为S,当t为何值时,S有最小值,并求出最小值;
(3)△BDF能否是等腰直角三角形,若能,求出t;若不能,说明理由.
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【题目】如图,A(4,3)是反比例函数y=在第一象限图象上一点,连接OA,过A作AB∥x轴,截取AB=OA(B在A右侧),连接OB,交反比例函数y=的图象于点P.
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)求点B的坐标;
(3)求△OAP的面积.
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【题目】如图,轮船在处观测灯塔位于北偏西方向上,轮船从处以每小时海里的速度沿南偏西方向匀速航行,小时后到达码头处,此时,观测灯塔位于北偏西方向上,则灯塔与码头的距离是____海里.(结果精确到个位,参考数据:,,)
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【题目】折纸飞机是我们儿时快乐的回忆,现有一张长为290mm,宽为200mm的白纸,如图所示,以下面几个步骤折出纸飞机:(说明:第一步:白纸沿着EF折叠,AB边的对应边A′B′与边CD平行,将它们的距离记为x;第二步:将EM,MF分别沿着MH,MG折叠,使EM与MF重合,从而获得边HG与A′B′的距离也为x),则PD=______mm.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠ABC=90°,AO是△ABC的角平分线,以O为圆心,OB为半径作圆交BC于点D,
(1)求证:直线AC是⊙O的切线;
(2)在图2中,设AC与⊙O相切于点E,连结BE,如果AB=4,tan∠CBE=.
①求BE的长;②求EC的长.
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【题目】观察猜想:(1)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,点D与点A重合,点E在边BC上,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF= ;
探究证明:(2)在(1)中,如果将点D沿AB方向移动,使AD=1,其余条件不变,如图②,判断BE与BF的位置关系,并求BE+BF的值,请写出你的理由或计算过程;
拓展延伸:(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=a,点D在边BA的延长线上,BD=n,连接DE,将线段DE绕着点D顺时针旋转,旋转角∠EDF=a,连接BF,则BE+BF的值是多少?请用含有n,a的式子直接写出结论.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,∠ABC的平分线BF交AD于点F,交BC于点D.
(1)求证:BE=EF;
(2)若DE=4,DF=3,求AF的长.
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