Question

17．已知一次函数y₁=x+b 的图象与二次函数y₂=a（x²+bx+3）（a≠0，a，b 为常数）的图象交于A、B 两点，且点A 的坐标为（0，3）
（1）求出a，b 的值；
（2）求出点B 的坐标，并直接写出当y₁≥y₂时x 的取值范围；
（3）设s=y₁+y₂，t=y₁-y₂，若n≤x≤m 时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，求n 的最小值和m 的最大值．

Answer 1

分析 （1）把A（0，3）代入y₁和y₂中可求得a、b的值；
（2）列方程组，解出即可得出点B的坐标，画图象，根据图象得出当y₁≥y₂时x 的取值范围；
（3）分别求出两函数s、t的解析式，并配方成顶点式，写出当s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大的x的取值，与n≤x≤m相对应得出结论．

解答 解：（1）把A（0，3）代入y₁=x+b中得：b=3，
∴y₁=x+3，y₂=a（x²+3x+3），
把A（0，3）代入y₂=a（x²+3x+3）中得：3a=3，a=1，
∴a=1，b=3；                                    
（2）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}+3x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=3}\end{array}\right.$  $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（-2，1），
如图所示，当y₁≥y₂时x 的取值范围是：-2≤x≤0；                       
（3）s=y₁+y₂=x+3+x²+3x+3=x²+4x+6=（x+2）²+2，
∵抛物线开口向上，
∴当x≥-2时，s 随着x 的增大而增大，
t=y₁-y₂=x+3-（x²+3x+3）=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∵抛物线开口向下，
∴当x≤-1时，t随着x 的增大而增大，
∴当-2≤x≤-1时，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，
∵n≤x≤m，s 随着x 的增大而增大，且t 也随着x 的增大而增大，
∴n 的最小值-2，m 的最大值-1．

点评 本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，明确二次函数的增减性与抛物线的对称轴有关，因此要把二次函数配方成顶点式后写出它的对称轴；本题还利用了数形结合的思想解决了：当y₁≥y₂时x 的取值范围；此类题有难度，要熟练掌握二次函数的图象的性质．