Question

如图，已知抛物线y=a（x+1）（x-3）（a＞0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于C点．

（1）若将直线y=kx向下平移3个单位长度后，直线恰好经过B、C两点，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若P、Q两点在图1抛物线对称轴上（P点在Q点上方），且∠PAQ=∠ACB，请求出其中符合条件的一组P，Q的坐标；
（3）当AC⊥BC时，
①求a的值；
②如图2过C点作x轴平行线，若M点为该平行线上C点右侧一动点，做AM⊥MF，MF与CB或其延长线相交于F点，试判断

MF

AM

是否为定值？若是请求出该值，若不是请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直线y=kx向下平移3个单位长度后经过BC，则C点向上平移3个单位应为y=kx与y轴的交点（0，0），所以C点为（0，-3）．将C点代入y=a（x+1）（x-3），即可求出a的值，则抛物线解析式可得．
（2）由∠C=∠ACO+∠OCB，所以在A点处构造2个分别等于∠ACO和∠OCB的角即可．如过A做∠PAO=∠ACO，∠QAO=∠OCB，此时记PQ与x轴的交点为N，则有△APN∽△CAO，△ANQ∽△COB．因为已知抛物线的解析式，则A、B、C、N点易求，由边成比例即可得PN，QN，则P、Q点坐标易求．
（3）①对y=a（x+1）（x-3），发现当x=-1和x=3时，y的值都为0，即无论a为何值，抛物线必过A（-1，0），B（3，0）．由AC⊥BC，AB⊥OC，易得三角形相似，则可通过比例得到OC边长，即得C点坐标．此时同（1），代入可求a．
     ②讨论

MF

AM

的值，发现AM⊥FM，可以考虑连接AF，则M点必在以AF为直径的圆上．又AC⊥BC，若△ACB∽△FAM，则

MF

AM

比为定值，且可根据△ACB求得．观察图2，在圆中等弧对等角，发现∠BAC所对弧为弧NMC，∠AFM所对弧为弧ACM．而弧NMC=劣弧NM+劣弧CM，弧ACM=劣弧AC+劣弧CM，且劣弧NM，劣弧AC同为平行弦AN，CM截圆的弧，即相等，所以角相等，相似成立，进而可求比例定值．

解答：解：（1）∵直线y=kx，当x=0时，y=0．
∴直线y=kx过O（0，0）．
∵直线y=kx向下平移3个单位长度后经过BC
∴C点向上平移3个单位为O（0，0）．
∴C点坐标为（0，-3）．
∵y=a（x+1）（x-3）过C（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
解得a=1．
整理得，抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图1，过A做∠PAO=∠ACO，∠QAO=∠OCB，此时∠PAQ=∠ACB，记PQ与x轴的交点为N．

∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），PQ在x=1上，N（1，0）．
在△APN和△CAO中，

∠PAN=∠ACO ∠ANP=∠COA

，
∴△APN∽△CAO．
同理，△ANQ∽△COB．
∴

PN

AN

=

AO

CO

，

NQ

AN

=

OB

CO

．
∵AN=2，AO=1，CO=3，OB=3，
∴PN=

2

3

，NQ=2．
∴P点坐标为（1，

2

3

），Q点坐标（1，-2）．

（3）①∵对抛物线y=a（x+1）（x-3），当x=-1时，y=0，当x=3时，y=0．
∴抛物线y=a（x+1）（x-3）必过A（-1，0），B（3，0），
∴AO=1，OB=3．
∵∠ACB-90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°．
∵∠BOC=90°．
∴∠ABC+∠OCB=90°，
∴∠OAC=∠OCB．
在△AOC和△COB中，

∠OAC=∠OCB ∠AOC=∠COB

，
∴△AOC∽△COB，
∴

AO

OC

=

CO

OB

，
∴CO=

3

（负值舍去），
∴C点坐标为（0，-

3

）．
∵y=a（x+1）（x-3）过C（0，-

3

），
∴-

3

=a（0+1）（0-3），
解得，a=

3

3

．

②

MF

AM

为定值，理由如下：
如图2，连接AF，以AF为直径作圆，由AC⊥BC，AM⊥MF，此时C，M都在圆上．

∵AN∥CM，
∴

AC

=

NM

，
∴

AC

+

CM

=

NM

+

CM

，
∴

ACM

=

NMC

，
∴∠AFM=∠BAC．
在△AFM和△BAC中，

∠AFM=∠BAC ∠AMF=∠BCA=90°

，
∴△AFM∽△BAC，
∴

MF

AM

=

CA

BC

．
在Rt△AOC和Rt△OBC中
∵AO=1，OC=

3

，OB=3，
∴AC=2，BC=2

3

，
∴

MF

AM

=

2

2 3

=

3

3

．

点评：本题考查了点平移及函数图象上点的性质，对特殊函数求其是否过定点及定点坐标是常规考点．对（2）、（3）问还要结合二次函数图象性质、三角形相似、圆周角等知识，是一道综合性很强的题目．