Question

20．如图所示，已知：把矩形AOBC放入直角坐标系xOy中，使OB、OA分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为（8，4），将△ABC沿AB翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，AD交x轴于点E．
（1）求D点坐标；
（2）求直线AD的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和轴对称的性质得出OA=BD=4，然后根据AAS证得△AOE≌△BDE，得出AE=BE，OE=ED，设AE=BE=x，则OE=8-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程求得AE=BE=5，从而求得DE=OE=3，根据三角形面积求得DF，然后根据勾股定理即可求得BF，进而求得OF，得到D的坐标；
（2）根据待定系数法求得即可．

解答 解：（1）∵四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（8，4），
∴OA=BC=4，AC=OB=8，
∵AD=AC，BD=BC，
∴AD=8，BD=4，
在△AOE和△BDE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠BED}\\{∠AOE=∠BDE=90°}\\{OA=BD}\end{array}\right.$
∴△AOE≌△BDE（AAS），
∴AE=BE，OE=ED，
设AE=BE=x，则OE=8-x，
∵OA²+OE²=AE²，
∴4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴BE=5，DE=OE=3，
作DF⊥OB于F，
∵$\frac{1}{2}$BD•DE=$\frac{1}{2}$BE•DF，
∴DF=$\frac{BD•DE}{BE}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴BF=$\sqrt{B{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴OF=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
∴D（$\frac{24}{5}$，-$\frac{12}{5}$）．
（2）设直线AD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{\frac{24}{5}k+b=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴线AD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4．

点评 本题考查了矩形的性质，一次函数的图象与几何变换，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积以及待定系数法求一次函数的解析式．