Question

2．如图，已知直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=a（x-2）²+n经过A、B两点，且与x轴交于另一点C．设抛物线顶点为P，对称轴为直线l，若直线l上存在点E（2，1）使得EA+EB最小．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若直线l上有一点M，使得△ABM是等腰三角形，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求直线BE解析式为：y=-x+3，由EA+EB最小知直线BE过点C（3，0），由对称知A（1，0），所以直线AB解析式为：y=-3x+3，再利用抛物线y=a（x-2）²+n过B、C，得出二次函数解析式；
（2）分别利用当BM=AB=$\sqrt{10}$时，当AM=AB=$\sqrt{10}$时；当AM=MB时求出答案即可．

解答 解：（1）∵直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴B（0，3），将B，E（2，1）代入y=dx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{2d+c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
故y=-x+3，
∵直线l上存在点E（2，1）使得EA+EB最小，
∴B，E，C在同一条直线上，
∴直线BE过点C（3，0），
由对称知A（1，0），所以直线AB解析式为：y=-3x+3，
抛物线y=a（x-2）²+n过B、C，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a（3-2）^{2}+n=0}\\{4a+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$
故抛物线解析式为：y=（x-2）²-1；  

（2）如图1，当AM=MB时，作AB的垂直平分线，交直线l于点M，过点B作BF⊥直线l于点F，
则设MR=x，则FM=3-x，
故BF²+FM²=MR²+AR²，
即2²+（3-x）²=x²+1²，
解得：x=2，
故M点坐标为：（2，2），
如图2，当BM=AB=$\sqrt{10}$时，设M₂（2，a），
由勾股定理可得：2²+（3-a）²=10，
解得：a₁=3+$\sqrt{6}$，a₂=3-$\sqrt{6}$，
故M点的坐标为：（2，3+$\sqrt{6}$），（2，3-$\sqrt{6}$）；
当AM=AB=$\sqrt{10}$时，此时BM₃∥x轴，则M点坐标为：（2，3）；
综上所述：M点的坐标为：（2，2），（2，3+$\sqrt{6}$），（2，3-$\sqrt{6}$），（2，3）共4个．

点评 此题主要考查了二次函数的综合以及等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确分类讨论得出M点坐标是解题关键．