Question

【题目】中，，，，分别是边和上的动点，在图中画出值最小时的图形，并直接写出的最小值为 .

Answer 1

【答案】作图见解析，

【解析】

作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．

如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．

连接AN，

在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，

∴BC=

∵

∴AH=

∵CA⊥AB，A'M⊥AB，

∴CA∥A'M

∴∠C=∠A'NH，

由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N

在△ACH和△A'NH中，

∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，

∴△ACH≌△A'NH（AAS）

∴A'N=AC=4=AN，

设NM=x，

在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=

在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x

∴AM2=AA'2-A'M2=

∴

解得

此时的最小值=A'M=A'N+NM=4+=