【题目】如图,正方形中,,是边的中点,点是正方形内一动点,,连接,将线段绕点逆时针旋转得,连接,.
(1)求证:;
(2)若,,三点共线,连接,求线段的长.
(3)求线段长的最小值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)的最小值是.
【解析】
(1)根据正方形的性质易证,即可得证;
(2)过作的垂线,交的延长线于,利用勾股定理得出,,再证得,得出,设,则,由勾股定理得:,求得,,再利用勾股定理求得
(3)由于,所以点可以看作是以为圆心,2为半径的半圆上运动,延长到点,使得,连接,证得,得,故当最小时,为、、三点共线,根据勾股定理得出,利用求出最小值.
(1)证明:如图1,由旋转得:,,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
即,
∴,
在和中,
∵,
∴,
∴;
(2)解:如图2,过作的垂线,交的延长线于,
∵是的中点,且,
∵,,三点共线,
∴,
由勾股定理得:,
∵,
∴,
由(1)知:,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
设,则,
由勾股定理得:,
或(舍),
∴,,
由勾股定理得:.
(3)解:如图3,由于,所以点可以看作是以为圆心,2为半径的半圆上运动,
延长到点,使得,连接,
∵,,
∴,
∴,
当最小时,为、、三点共线,
,
∴,
∴的最小值是.
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【题目】某校为了了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机抽取了本校部分学生进行问卷调查(必选且只选一类节目),将调查结果进行整理后,绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图,其中喜爱体育节目的学生人数比喜爱戏曲节目的学生人数的3倍还多1人.
请根据所给信息解答下列问题:
(1)求本次抽取的学生人数.
(2)补全条形图,在扇形统计图中的横线上填上正确的数值,并直接写出“体育”对应的扇形圆心角的度数.
(3)该校有3000名学生,求该校喜爱娱乐节目的学生大约有多少人?
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【题目】如图1,Rt△ACB 中,∠C=90°,点D在AC上,∠CBD=∠A,过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
(1)利用直尺和圆规在图1中画出⊙O(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线条描清楚);
(2)判断BD所在直线与(1)中所作的⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)设⊙O交AB于点E,连接DE,过点E作EF⊥BC,F为垂足,若点D是线段AC的黄金分割点(即),如图2,试说明四边形DEFC是正方形.
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【题目】如图,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为( )
A.4,30° B.2,60° C.1,30° D.3,60°
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【题目】定义:有一组邻边相等,并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.
(1)如图1,等腰直角四边形ABCD,AB=BC,∠ABC=90°.
①若AB=CD=1,AB∥CD,求对角线BD的长.
②若AC⊥BD,求证:AD=CD;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,点P是对角线BD上一点,且BP=2PD,过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F,使四边形ABFE是等腰直角四边形,求AE的长.
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【题目】已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4).
(1)请在图中,画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在图中y轴右侧,画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.
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【题目】“校园手机”现象越来越受到社会的关注.为了了解学生和家长对中学生带手机的态度,某记者随机调查了城区若干名学生和家长的看法,调查结果分为:赞成、无所谓、反对,并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图:
根据以上图表信息,解答下列问题:
(1)统计表中的A________;
(2)统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数为________度;
(3)从这次接受调查的学生中,随机抽查一个,恰好是持“反对”态度的学生的概率是多少?
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【题目】如图,在菱形中,,按以下步骤作图:①分别以点和点为圆心,为圆心,大于号的长为半径面狐,两弧交于点,:②做直线,且恰好经过点,与交于点,连接,则的值为( )
A. B. C. D.
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