Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．

（1）求证：△ACE≌△AFE；

（2）求tan∠CAE的值．

Answer 1

（1）证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，

∴CE=EF，

在Rt△ACE与Rt△AFE中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）；

（2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE，

∴AC=AF，CE=EF，

设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，

∴BC===m，

∴在RT△ABC中，tan∠B===，

在RT△EFB中，EF=BF•tan∠B=，

∴CE=EF=，

在RT△ACE中，tan∠CAE===；

∴tan∠CAE=．