Question

现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα=m，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arcsinm来表示α，
记作：α=arcsinm；若cosα=m，则记α=arccosm；若tanα=m，则记α=arctanm．
解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上．连接ED，FG，交点为H．
（1）如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF=

 

°；
（2）如图2，若EF=

2

5

CD，GD=

2

5

AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时，∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．

Answer 1

分析：（1）作辅助线，连接FC和GC，可证得△FCG为等腰直角三角形，利用∠EHF=∠GFC=45°，问题可求．
（2）作辅助线，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM，则会有∠EHF=∠GFM，将问题转化到△GFM中，据已知正方形关系，可证得四边形EFMD为平行四边形，△GFM为直角三角形，于是，α可求．

解答：解：（1）45°；
连接FC和CG（如图1），由题意可知ABCD为正方形，AE=BF=GD，
∴△AED≌△BFC≌△DGC（SAS），
∴CF=GC，∠AED=∠BFC，∠BCF=∠DCG，
∴ED∥FC，
∴∠EHF=∠GFC，
又∵∠BCD=90°=∠BCG+∠GCD=∠BCG+∠BCF=∠GCF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠GFC=∠FGC=45°，
∴∠EHF=45°；

（2）答：不会变化．
证明：如图2，过点F作FM∥ED交CD于M，连接GM．
∵正方形ABCD中，AB∥CD，
∴四边形EFMD为平行四边形．
∴EF=DM，DE=FM．
∴∠3=∠4，∠EHF=∠HFM=α．
∵EF=

2

5

CD，GD=

2

5

AE，
∴

EF

CD

=

GD

AE

=

2

5

．
∴

DM

AD

=

GD

AE

，
∵∠A=∠GDM=90°，
∴△DGM∽△AED．
∴

GM

DE

=

2

5

，∠1=∠2，
∴

GM

FM

=

2

5

，
∵∠2+∠3=90°，∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠4=90°．
∴∠GMF=90°．
在Rt△GFM中，tanα=

GM

FM

=

2

5

．
∴α=arctan

2

5

．
另解2：作EM⊥CD于M，连接GM，FM可解，应该简单些．

点评：本题综合性强，难度较大，考查学生对辅助线的运用和综合推理能力．