[题目]在平面直角坐标系中.边长为1的正方形的两个顶点.分别在轴.轴的正半轴上.点是原点．现在将正方形绕原点顺时针旋转.当点第一次落在直线上时停止．旋转过程中.边交直线于点.边交轴于点． (1)若点.求此时点的坐标及的值,(2)若的周长是.在旋转过程中.值是否会发生变化?若不变.请求出这个定值.若有变化.请说明理由,(3)设.当为何值时的面积最小.最小值是多少?� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两个顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点是原点．现在将正方形绕原点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止．旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点．

（1）若点，求此时点的坐标及的值；

（2）若的周长是，在旋转过程中，值是否会发生变化？若不变，请求出这个定值，若有变化，请说明理由；

（3）设，当为何值时的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时内切圆半径．

【答案】(1) b=,C（，-）;(2) p值无变化, 2;(3) 3-2.

【解析】

（1）根据，正方形的边长为1，利用勾股定理求出b，过AD⊥x轴，CF⊥x轴，证明△ADO≌△OFC，得到OF=AD=，FC=DO=故可求解；

（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE＝ON，AE＝CN，MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN．从而求得：P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2．即可求解．

（3）Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2，所以（1n）2＋（1m＋n）2＝m2m2mn＋2m＝0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解的条件，即可求得．

（1）∵，正方形的边长为1

∴

解得b=（负值舍去），

∴

过AD⊥x轴，CF⊥x轴，

∵∠AOC＝90°

∴∠AOD+∠COF＝90°

又∠AOD+∠OAD＝90°

∴∠OAD=∠COF

又∠ADO=∠OFC＝90°，AO=OC

∴△ADO≌△OFC

∴OF=AD=，FC=DO=

∴C（，-）；

（2）p值无变化

证明：延长BA交y轴于E点，

∵，

∴

在△OAE与△OCN中，

∴△OAE≌△OCN（AAS）

∴OE＝ON，AE＝CN

在△OME与△OMN中，

∴△OME≌△OMN（SAS）

∴MN＝ME＝AM＋AE＝AM＋CN

∴P＝MN＋BN＋BM＝AM＋CN＋BN＋BM＝AB＋BC＝2；

（3）设AM＝n，则BM＝1n，CN＝mn，BN＝1m＋n，

∵△OME≌△OMN，

∴S△MON＝S△MOE＝OA×EM＝m

在Rt△BMN中，BM2＋BN2＝MN2

∴（1n）2＋（1m＋n）2＝m2

故n2mn＋1m＝0，把方程看作关于n的一元二次方程，方程有解,

∴△＝m24（1m）≥0，解得m≥22或m≤22，

∴当m＝22时，△OMN的面积最小，为1．

把m＝22代入n2mn＋1m＝0

解得n＝1，

则BM＝1n＝2，BN＝1m＋n＝2，

∴Rt△BMN的内切圆半径为＝32．

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