Question

8．如图，在△ABC中，AE、BD分别是边BC、AC上的高，且∠C=60°．
（1）求证：△ABC∽△EDC；
（2）若DE=4cm，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由AE、BD分别是边BC、AC上的高，于是得到∠AEC=∠BDC=90°，由于∠C=60°，得到∠EAC=∠DBC=30°，推出$\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，即可得到结论；
（2）由（1）证得△ABC∽△EDC，根据相似三角形的性质即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AE、BD分别是边BC、AC上的高，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠EAC=∠DBC=30°，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△ABC∽△EDC；

（2）解：由（1）证得△ABC∽△EDC，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵DE=4cm，
∴AB=8cm．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．