Question

如图，OA=2，OB=4，∠AOB=90°，点C为直线AB上一动点，以BC为腰作等腰直角三角形△BCE，过A、C、E三点作⊙O₁，EF⊥BE交⊙O₁于F点．
（1）若AB=BC，求⊙O₁的半径．
（2）若C为动点，求EF的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；求出AB的长度；借助勾股定理求出AE的长度，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明EF=BM；证明∠BAM=∠CBE=45°，借助直角三角形的边角关系，求出BM的长，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，连接AE，取AE的中点O₁，连接O₁B；
∵∠ACE=90°，
∴AE为⊙O₁的直径；
∵OA=2，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB²=2²+4²，
∴AB=2

5

，AC=2AB=4

5

；
由勾股定理得：AE²=AC²+CE²，
∴AE=10，
∴⊙O₁的半径为5．
（2）如图，连接AF；过点B作BM⊥AF；
则四边形BMFE为矩形，EF=BM；
∵BE∥AF，
∴∠BAM=∠CBE=45°，
∴sin45°=

BM

AB

，而AB=2

5

，
∴BM=

10

，
∴EF=

10

．

点评：该题主要考查了圆周角定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．