Question

【题目】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．

（1）已知BD= ，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的边长为1；

（2）解：CN=2EM

证明方法一、理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC

∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，AE=FE

∴EO为△AFC的中位线

∴EO∥BC

∴

∴在Rt△AEN中，OA=OC

∴EO=OC= AC，

∴CM= EM

∵CE平分∠ACF，

∴∠OCM=∠BCN，

∵∠NBC=∠COM=90°，

∴△CBN∽△COM，

∴ ，

∴CN= CM，

即CN=2EM．

证明方法二、∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°=∠DBC，

由（1）知，在Rt△ACE中，EO= AC=CO，

∴∠OEC=∠OCE，

∵CE平分∠ACF，

∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，

∴EO∥BC，

∴∠EOM=∠DBC=45°，

∵∠OEM=∠OCE

∴△EOM∽△CAN，

∴ ，

∴CN=2CM．

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线、正方形的性质等，利用比例式判断出CM=EM和CN=CM是解题的关键.