Question

20．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）三点，与y轴相交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△BDP与△ABC相似，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）若点E是题中抛物线l上的动点，点F是抛物线上的动点，则是否存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）三点坐标代入抛物线解析式即可得出结论；
（2）由三角函数正切值可得出∠ABC=∠ABD，再去分两种情况讨论相似，由相似三角形的性质即可得出结论；
（3）设出E点坐标（$\frac{3}{2}$，n），分BD为对角线以及BD为边讨论，由平行四边形的性质，用含n的代数式表示出F点坐标，代入抛物线解析式即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3）三点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=16a+4b+c}\\{-3=4a-2b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）假设存在，且点P坐标为（m，0），令BC与y轴交点为M．
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，令x=0，则y=2，
即点D坐标为（0，2）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{-3=-2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
即直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
令x=0，则y=-2，
即点M（0，-2）．
∵tan∠ABC=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OD}{OB}$=tan∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD．
①当∠DPB=∠CAB时，如图1，

∵△BPD∽△BAC，
∴$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BD}{BC}$，
∵A（-1，0），B（4，0），C（-2，-3），D（0，2），P（m，0），
∴BD=2$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{5}$，BA=5，BP=4-m，
∴$\frac{4-m}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}$，即3m=2，解得m=$\frac{2}{3}$．
此时P点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．
②当∠BAD=∠BCA时，如图2，

∵△ABC∽△DBA，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BD}{BA}$，
∴$\frac{4-m}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即4-m=6，解得m=-2．
此时P点的坐标为（-2，0）．
综上知：在x轴上存在点P，使△BDP与△ABC相似，点P的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）或（-2，0）．
（3）假设存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，有两种情况，一种BD为对角线，另一种BD为一条边．
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，对称轴为x=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$．
设点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，n）．
①当BD为对角线时，如图3，

∵四边形DEBF为平行四边形，所以EF和BD互相平分，令中点为Q．
∴Q点的坐标为（2，1），
∴F点坐标为（$\frac{5}{2}$，2-n）．
∵点F在抛物线上，
∴2-n=-$\frac{1}{2}$×${（\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{2}$+2，
解得n=-$\frac{5}{8}$，
即E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．
②当BD为一条边时，如图4，此时点F在点E的左侧，

过E作EG∥x轴，过F作FG∥y轴，二者交于点G．
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BD=EF，且BD∥EF，
∵EG∥x轴，
∴∠DBO=∠FEG．
在△BDO和△EFG中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠FEG}\\{∠BOD=∠EGF}\\{BD=EF}\end{array}\right.$，
∴△BDO≌△EFG（AAS）．
∴F点坐标为（-$\frac{5}{2}$，n+2），
∴有n+2=-$\frac{1}{2}$×${（-\frac{5}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$×（-$\frac{5}{2}$）+2，解得n=-$\frac{55}{8}$，
即E点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{55}{8}$）．
由抛物线的对称性可知，还存在F点在E的右侧情况，
此时F点坐标为（$\frac{11}{2}$，n-2），
∴有n-2=-$\frac{1}{2}$×${（\frac{11}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{11}{2}$+2，解得n=-$\frac{23}{8}$．
即E点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{23}{8}$）．
综合①②可得：存在以B，D，E，F为顶点的平行四边形，点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）、（$\frac{3}{2}$，-$\frac{55}{8}$）和（$\frac{3}{2}$，-$\frac{23}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数综合运用、全等三角形的判定以及性质和平行四边形的性质，解题的关键：（1）将已知点坐标代入解析式；（2）设出P点坐标，利用相似三角形的对应边之比等于相似比，找出含m的方程；（3）设出E点坐标，由平行四边形的性质可得出关于n的方程．