Question

已知点P是直线（＞0，）上一定点，点A是轴上一动点（不与原点重合），连结PA，过点P作PB⊥PA，交轴于点B，探究线段PA与PB 的数量关系.
小题1:如图（1），当PA⊥轴时，观察图形发现线段PA与PB的数量关系是__________；
小题2:当PA与轴不垂直时，在图（2）中画出图形，线段PA与PB 的数量关系是否与（Ⅰ）所得结果相同？写出你的猜想并加以证明；
小题3:为何值时，线段PA=PB？此时∠POA的度数是多少，为什么？

Answer 1

小题1:PA=PB.                                          ……2分
小题2:如图2，过P 作PC⊥轴于C，PD⊥轴于D，设P（，）.
∵∠BPD+∠DPA=∠APB=90°，∠APC+∠DPA=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD.∴Rt△APC∽Rt△BPD.                 ……4分
∴.∴.∴PA=PB.              ……6分
小题3:当=1时，PA=PB，此时∠POA=45°或∠POA=135°.……8分
这是因为 由（Ⅱ）得PA=PB，所以当=1时，PA=PB.
此时Rt△APC≌Rt△BPD，∴PC=PD，
即点P到轴、轴的距离相等，所以直线（=1）平分一、三象限的夹角.
∴∠POA=45°或∠POA=135°（如图3）.                 ……10分

(I)根据OAPB是矩形从而得出P点的坐标，并把它代入到正比例函数中得出结论；
（II）过P点作PC⊥轴于C，PD⊥轴于D，证明出Rt△APC∽Rt△BPD.从而得出，即PA=PB；
（III）如果PA=PB，即k=1，那么分A点在x轴正负半轴两种情况得出∠POA的度数。