Question

【题目】在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕.同时，得到了线段.

（1）如图，若点刚好落在折痕上时，

①过作，求证：；

②求的度数；

（2）如图，当为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，请直接写出的长.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②；（2）或.

【解析】

（1）①连接AN，首先由折叠易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E为AB中点，从而证得△BAN为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠NBG=30°即可；；
②由①可得∠NBM=30°，从而求得∠BMN=60°，即可求得∠AMN的值；
（2）根据四边形ABCD为矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分当∠NBC=90°、当∠BNC=90° N在矩形ABCD内部、当∠BNC=90° N在矩形ABCD外部时三种情况利用勾股定理求得结论即可．

①证明：连接AN，

∵由折叠易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E为AB中点，

∴AB=BN，NA=BN，
∴△BAN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，

∵∠ABC=90°，
∴∠NBG=30°；

∵∠NGB=90°，

∴

②由①得：△BAN为等边三角形，
∴∠ABN=60°，
由折叠得，∠NBM=∠ABM=30°，∠MNB=∠BAM=90°，

∴∠BMN=∠BMA=60°.

∴=120°

（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠MNB=90°，
①当∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合题意，舍去，
②当∠BNC=90°，N在矩形ABCD内部，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、N、C三点共线，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°
∴NC=4
设AM=MN=x
∵MD=5-x，MC=4+x，
∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2，
32+（5-x）2=（4+x）2，
解得x=1；
③当∠BNC=90° N在矩形ABCD外部时，
∵∠BNC=∠MNB=90°，
∴M、C、N三点共线，
∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°，
∴NC=4，
设AM=MN=y，
∵MD=y-5，MC=y-4，
∴在Rt△MDC中 ，CD2+MD2=MC2
32+（y-5）2=（y-4）2，
解得y=9，
综上所述：当AM=1或9时△NBC是直角三角形．