Question

（2012•拱墅区二模）已知△ABC中，∠A=α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O₁，则可计算得∠BO₁C=90°+

1

2

α；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O₁、O₂，则∠BO₂C=

60°+

2

3

α

；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于O₁、O₂，…，O_n-1，如图（3），则∠BO_n-1C=

(n-1)α

n

+

180°

n

（用含n和α的代数式表示）．

Answer 1

分析：根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O₂BC+∠O₂CB），在△O₂BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠O_n-1BC+∠O_n-1CB），在△O_n-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O₂B和O₂C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=

2

3

（180°-α）=120°-

2

3

α；
∴∠BO₂C=180°-（∠O₂BC+∠O₂CB）=180°-（120°-

2

3

α）=60°+

2

3

α；

在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O_n-1B和O_n-1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=

n-1

n

（∠ABC+∠ACB）=

n-1

n

（180°-α）=

180°(n-1)

n

-

(n-1)α

n

．
∴∠BO_n-1C=180°-（∠O_n-1BC+∠O_n-1CB）=180°-（

180°(n-1)

n

-

(n-1)α

n

）=

(n-1)α

n

+

180°

n

．
故答案为：60°+

2

3

α；

(n-1)α

n

+

180°

n

．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．