Question

4．定义新运算：对于任意实数a、b，都有a⊕b=a（a-b）+2，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．
比如：2⊕5=2×（2-5）+2=2×（-3）+2=-6+2=-4；
（1）求（-2）⊕3的值；
（2）若3⊕（x-y）=5且2⊕（x+y）≥3，求y的取值范围；
（3）若x为能被4整除的正整数，y为正奇数（x＞y），请证明：x⊕y能被2整除，但不能被4整除．

Answer 1

分析 （1）根据⊕的运算定义，代入数据即可得出结论；
（2）根据⊕的运算定义结合3⊕（x-y）=5即可得出x、y之间的关系，再根据2⊕（x+y）≥3即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（3）根据⊕的运算定义找出x⊕y=x（x-y）+2，再结合x为能被4整除的正整数、y为正奇数（x＞y），即可证出x⊕y能被2整除，但不能被4整除．

解答 解：（1）（-2）⊕3=（-2）×（-2-3）+2=（-2）×（-5）+2=12．
（2）3⊕（x-y）=3×[3-（x-y）]+2=5，
整理得：x=y+2．
∵2⊕（x+y）=2×[2-（x+y）]+2≥3，
∴2（x+y）=2y+4≤3，
解得：y≤-$\frac{1}{2}$．
（3）证明：x⊕y=x（x-y）+2，
∵x为能被4整除的正整数，y为正奇数（x＞y），
∴x（x-y）能被4整除，
∴x（x-y）+2能被2整除，但不能被4整除．
∴x⊕y能被2整除，但不能被4整除．

点评 本题考查了因式分解的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据⊕的运算定义代入数据求值；（2）找出关于y的一元一次不等式；（3）利用⊕的运算定义将x⊕y展开．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过新运算的定义利用新运算解决问题是关键．