Question

6．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为6时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH．
①求抛物线的解析式；
②若PF=-4$\sqrt{2}$a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积，可得C点的纵坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（3）①根据等式的性质，可得∠HAP=∠HPA，根据等腰三角形的判定，可得PA=HA，可得答案；
②根据全等三角形的判定与性质，可得HK．根据等腰直角三角形的判定与性质，可得NQ与KN的关系，根据平行于x轴直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标，可得答案．

解答 解：（1）∵当y=0时，ax²-5ax+4a=0
解得  x₁=1，x₂=4，
∴A（1，0），B（4，0）
∴AB=3                       
由S_△ABC$\frac{1}{2}$AB•|y_C|=6，可得|y_C|=OC=4，即C（0，-4），
将C点代入，得
a=-1
∴解析式为y=-x²+5x-4；
（2）过点C作CD∥x轴，过点P作PD⊥CD于点D，如图1
，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠BCP=2∠ABC
∴∠PCD=∠ABC，∠PDC=∠BOC，
∴△PCD∽△CBO，
∴tan∠ABC=tan∠DCP 
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{DP}{CD}$，
设点P（t，at²-5at+4a）
DP=4a-（at²-5at+4a）=-at²+5at
∴$\frac{-a{t}^{2}+5at}{t}$=$\frac{-4a}{4}$
∴t=6
∴点P 的横坐标为6；

（3）①∵AK=FK
∴∠KAF=∠KFA
又∵∠KAH=∠FKP
∴∠HAP=∠HPA
∴HP=HA
由（2）知P 的横坐标为6，
∴P（6，10a）
∴HP=-10a
又∵HA=HO-AO=6-1=5
∴-10a=5
∴a=-$\frac{1}{2}$
∴抛物线的解析式为 y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
②过点F作FG⊥PK于点G，则Rt△PFG是等腰直角三角形如图2
，
∵PF=-4$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{2}$
∴FG=2
在△AKH和△KFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠KAH=∠FKG}\\{∠AHK=∠KGF}\\{AK=FK}\end{array}\right.$
∴△AKH≌△KFG（AAS）
∴HK=FG=2
∴点K（6，2）
∵BH=KH=2
∴∠BKH=45°
过点Q作QN⊥PK于点N，则KN=QN
，
设点Q（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2），则N（6，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2）
∴QN=6-t
NK=2+$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+2=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+2=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+4
由KN=QN
得6-t=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t+4
解的t₁=-1，t₂=4（舍）
∴Q（-1，-5）．
∵P（6，-5）
∴PQ∥x 轴，
∴QP=7．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用三角形的面积的出C点坐标；解（2）的关键是利用相似三角形的判定与性质得出$\frac{-a{t}^{2}+5at}{t}$=$\frac{-4a}{4}$，解（3）①的关键是等腰三角形的判定得出PA=HA，解②的关键是；利用等腰直角三角形的判定与性质，可得NQ与KN的关系，又利用了平行于x轴直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标．