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11.如图,在矩形ABCD中,AB<BC,M是BC的中点,DE⊥AM于点E,且AB、BC的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两根,求△DEM的面积.

分析 先求出方程的解,求出AB、BC,根据勾股定理求出AM,证△DEA∽△ABM,得出比例式,求出DE和AE,即可求出答案.

解答 解:解方程x2-7x+12=0得:x=3或4,
∵AB<BC,AB、BC的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两根,
∴AB=3,BC=4,
∵四边形ABCD是矩形,M为BC的中点,
∴AD=BC=4,BM=CM=2,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAE=∠AMB,
由勾股定理得:AM=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$,
∵DE⊥AM,
∴∠DEA=∠B=90°,
∴△DEA∽△ABM,
∴$\frac{AD}{AM}$=$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AE}{BM}$,
∴$\frac{4}{\sqrt{13}}$=$\frac{DE}{3}$=$\frac{AE}{2}$,
解得:DE=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$,AE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$,
∴EM=AM-AE=$\sqrt{13}$-$\frac{8\sqrt{13}}{13}$=$\frac{5\sqrt{13}}{13}$,
∴△DEM的面积为$\frac{1}{2}$×DE×EM=$\frac{1}{2}$×$\frac{12\sqrt{13}}{13}$×$\frac{5\sqrt{13}}{13}$=$\frac{30}{13}$.

点评 本题考查了解一元二次方程,勾股定理,相似三角形的性质和判定,矩形的性质的应用,能求出DE、AM的长是解此题的关键.

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