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    如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．
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    （1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
    （2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
    分析：（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
    （2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．
    解答：解：（1）CD=BE．理由如下：（1分）
    ∵△ABC和△ADE为等边三角形，
    ∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
    ∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
    ∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
    ∴∠BAE=∠DAC，（3分）
    ∴△DAC≌△EAB（SAS），
    ∴CD=BE．（4分）

    （2）△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）
    ∵△ABE≌△ACD，
    ∴∠ABE=∠ACD
    ∵M、N分别是BE、CD的中点，
    ∴BM=
    1
    2
    BE=
    1
    2
    CD=CN，
    ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
    ∴△ABM≌△ACN．
    ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
    ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
    ∴△AMN是等边三角形．（7分）
    设AD=a，则AB=2a．
    ∵AD=AE=DE，AB=AC，
    ∴CE=DE．
    ∵△ADE为等边三角形，
    ∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
    ∴∠EDC=∠ECD=30°，
    ∴∠ADC=90°．（8分）
    ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
    ∴CD=
    		3
    a．
    ∵N为DC中点，
    ∴DN=
    		3
    2
    a    ，
    ∴AN=
    		DN2+AD2
    =
    		(
    		3
    2
    a)    2    +a2
    =
    		7
    2
    a    ．（9分）
    ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
    ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（
    		7
    2
    a    ）2=1：4：
    7
    4
    =4：16：7（10分）

    解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）
    ∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，
    ∴AM=AN，NC=MB．
    ∵AB=AC，
    ∴△ABM≌△ACN，
    ∴∠MAB=∠NAC，
    ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
    ∴△AMN是等边三角形，（7分）
    设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，
    易证BE⊥AC，
    ∴BE=
    		AB2-AE2
    =
    		(2a)2-a2
    =
    		3
    a    ，
    ∴EM=
    		3
    2
    a    ，
    ∴AM=
    		EM2+AE2
    =
    		(
    		3
    2
    a)    2    +a2
    =
    		7
    2
    a    ，
    ∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
    ∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（
    		7
    2
    a    ）2=1：4：
    7
    4
    =4：16：7．（10分）
    点评：此题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，勾股定理及旋转的性质等知识的综合运用及推理论证能力．
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    27、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．

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    精英家教网利用三角形内角和，探究四边形内角和：
    如图，∠A、∠B、∠C、∠D是四边形的四个内角，连接AC，因为
     
    ，所以
     
    ，即四边形内角和为
     
    ．
    利用上述结论解题：四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
    （1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
    （2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
    （3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    △ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形，其中∠ABC与∠DBE、∠A与∠D为对应角．
    （1）如图1，若△ABC和△DBE分别是以∠ABC与∠DBE为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD与线段EC的关系；
    （2）若△ABC和△DBE为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD与线段EC的关系，并说明理由；
    （3）若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形，且∠ACB=α，∠BDE=β，在绕点B旋转的过程中，直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点
    （1）求证：CD=BE，
    （2）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE吗？若相等请证明，若不等于请说明理由；
    （3）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时，△AMN还是等边三角形吗？若是请证明，若不是，请说明理由（可用第一问结论）．

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