Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在x轴上，且B、C在O点两侧，OB=3，∠BAC=45°，A点坐标为（0，6），将Rt△BOA绕点O顺时针旋转90°，A、B的对应点分别为D、M，连接AD．

（1）求DM的解析式；
（2）动点P从点O出发，沿折线ODA方向以1个单位/秒的速度向终点A运动，设△PDM的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，如图2，F为AC上一点，CF=

10

4

，直线PF交AD于N，当t为何值时，∠NFA=∠ABO？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由旋转的性质可得：点M的坐标为：（0，3），点D的坐标为（6，0），然后利用待定系数法即可求得DM的解析式；
（2）由勾股定理可求得AD=6

2

，然后分别从当0≤t≤6时，S_△PDM=

1

2

PD•OM，与当6＜t≤6+6

2

时，S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，去分析求解即可求得答案；
（3）首先过点C作CH⊥AB于点H，三角函数的性质，可求得OC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，求得t的值．

解答：解：（1）设直线CM的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：OD=OA=6，OM=OB=3，
则点M的坐标为：（0，3），点D的坐标为（6，0），
则

b=3 6k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=3

，
故DM的解析式为：y=-

1

2

x+3；

（2）∵OA=OD=6，
∴AD=

OA2+OD2

=6

2

，
∴如图1，当0≤t≤6时，S_△PDM=

1

2

PD•OM，
∵OM=3，OP=t，
∴PD=OD-OP=6-t，
∴S_△PDM=

1

2

×3×（6-t）=-

3

2

t+9；
如图2，当6＜t≤6+6

2

时，S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
过点P作PE⊥y轴于点E，
∴PE∥OD，
∴△APE∽△ADO，
∴PE：OD=AP：AD，
∵AP=6+6

2

-t，
∴

PE

6

=

6+6 2 -t

6 2

，
解得：PE=3

2

+6-

2

2

t，
∴S_△PDM=S_△ADM-S_△APM=

1

2

AM•OD-

1

2

AM•PE=

1

2

×3×6-

1

2

×3×（3

2

+6-

2

2

t）=

3 2

4

t-

9 2

2

；
∴S与t之间的函数关系式为：y=

- 3 2 t+9  (0≤t≤6) 3 2 4 t- 9 2 2 (6＜t≤6+6 2 )

；

（3）如图3，过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠BAC=45°，
∴CH=AH，
∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=

OA

OB

=2，
∴在Rt△BCH中，tan∠ABO=

CH

BH

=2，
∴CH=2BH，
∴AH=2BH，
∵AB=

OA2+OB2

=3

5

，
∴AH=2

5

，
∴AC=

2

AH=2

10

，
∴OC=

AC2-OA2

=2，
∵∠NFA=∠ABO，∠NFA=∠CFP，
∴∠CFP=∠ABO，
∵∠ACB=∠PCF（公共角），
∴△PCF∽△ACB，
∴

CF

BC

=

CP

AC

，
∵CP=OC-OP=2-t，BC=OB+OC=5，CF=

10

4

，
∴

10 4

5

=

2-t

2 10

，
解得：t=1．
故当t=1时，∠NFA=∠ABO．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、旋转的性质、勾股定理、解直角三角形的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．