Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上的一点，且CE=BD，连接DE交BC于点P．
（1）求证：PE=PD
（2）若CE：AC=1：5，BC=10，求BP的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DF∥AC交BC于点F，由等腰三角形性质和平行线性质可得∠DBF=∠DFB，可推得DB=DF，由因为已知CE=BD，即可得DF=CE，通过AAS可得△DFP≌△ECP，即得到PE=PD．
（2）由已知条件易证得△BDF∽△BAC，且

BF

BC

=

BD

BA

=

1

5

，由BC=10，可得BF、EC的长；由△DFP≌△ECP可得PF的长，即可得BP的长．

解答：（1）证明：过点D作DF∥AC交BC于点F，
∴∠ACB=∠DFB，∠FDP=∠E
∵AB=AC（已知），
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=∠DFB，
∴DF=DB；
又∵CE=BD（已知），
∴CE=DF；
又∵∠DPF=∠CPE，
∴△ECP≌△DFP，
∴PE=PD；

（2）解：∵CE=BD，AC=AB，CE：AC=1：5（已知），
∴BD：AB=1：5，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴

BF

BC

=

BD

BA

=

1

5

；
∵BC=10，
∴BF=2，FC=8，
∵△DFP≌△ECP，
∴FP=PC，
∴PF=4，
则BP=BF+FP=6．

点评：本题主要考查全等三角形全等的判定与性质及等腰三角形的性质；涉及到相似三角形、等腰三角形等知识点，是一道综合题型，正确作出辅助线是解题的关键．