Question

5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5$\sqrt{5}$，则四边形ABCD的面积为=31，BD的长为2$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC的长，利用勾股定理的逆定理，说明△ACD是直角三角形．利用Rt△ABC和Rt△ACD的面积和求出四边形ABCD的面积．过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E．易证明△ABC∽△CED，求出DE、CE的长，再利用勾股定理求出BD的长，

解答 解：连接AC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线与点E．
因为∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
由于AC²+CD²=25+100=125，AD²=（5$\sqrt{5}$）²=125，
∴AC²+CD²=AD²．
所以∠ACD=90°．
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△ACD
=$\frac{1}{2}AB•BC+\frac{1}{2}AC•CD$
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×10
=6+25=31．
∵∠DEC=90°，∴∠DCE+∠CDE=90°，
所以∠DCE+∠ACB=90°，
∴∠CDE=∠ACB，又∵∠ABC=90°，
∴△ABC∽△CED
$\frac{AB}{CE}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{DC}$
∴CE=6，DE=8．
∴BE=BC+CE=10，
在Rt△DEB中，
DB=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$
=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{21}$
故答案为：31，2$\sqrt{41}$

点评 本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定．解决本题的关键是连接AC利用直角三角形的面积求出四边形的面积．