Question

5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．
（1）填空：点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（-3，0），点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（-1，$\frac{8}{3}$）；
（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）
①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；
②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；
③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=0，求得A（0，2），令y=0，求得B（-3，0），C（1，0），由y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2转化成顶点式可知D（-1，$\frac{8}{3}$）；
（2）①设P（n，0），则E（n，-$\frac{2}{3}$n²-$\frac{4}{3}$n+2），根据已知条件得出-$\frac{2}{3}$n²-$\frac{4}{3}$n+2=1-n，解方程即可求得E的坐标；
②根据直线ED和EA的斜率可知直线与坐标轴的交角相等，从而求得与坐标轴构成的三角形是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求得EF的长；
③根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，然后求得E、F的坐标，根据勾股定理即可求得．

解答 解：（1）令x=0，则y=2，
∴A（0，2），
令y=0，则-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=0，解得x₁=-3，x₂=1（舍去），
∴B（-3，0），C（1，0），
由y=-$\frac{2}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+2=-$\frac{2}{3}$（x+1）²+$\frac{8}{3}$可知D（-1，$\frac{8}{3}$），
故答案为：0、2，-3、0，1、0，-1、$\frac{8}{3}$；

（2）①设P（n，0），则E（n，-$\frac{2}{3}$n²-$\frac{4}{3}$n+2），
∵PE=PC，
∴-$\frac{2}{3}$n²-$\frac{4}{3}$n+2=1-n，解得n₁=-$\frac{3}{2}$，n₂=1（舍去），
∴当n=-$\frac{3}{2}$时，1-n=$\frac{5}{2}$，
∴E（-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
②如图1，设直线DE与x轴交于M，与y轴交于N，直线EA与x轴交于K，

根据E、D的坐标求得直线ED的斜率为$\frac{1}{3}$，根据E、A的坐标求得直线EA的斜率为-$\frac{1}{3}$，
∴△MEK是以MK为底边的等腰三角形，△AEN是以AN为底边的等腰三角形，
∵到EA和ED的距离相等的点F在顶角的平分线上，
根据等腰三角形的性质可知，EF是E点到坐标轴的距离，
∴EF=$\frac{3}{2}$或$\frac{5}{2}$；

（3）根据题意得：当△PQR为△ABC垂足三角形时，周长最小，所以P与O重合时，周长最小，
如图2，作O关于AB的对称点E，作O关于AC的对称点F，连接EF交AB于Q，交AC于R，
此时△PQR的周长PQ+QR+PR=EF，
∵A（0，2），B（-3，0），C（1，0），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$OE×AB=$\frac{1}{2}$OA•OB，
∴OE=$\frac{12}{\sqrt{13}}$，
∵△OEM∽△ABO，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{EM}{OB}$=$\frac{OE}{AB}$，即$\frac{OM}{2}$=$\frac{EM}{3}$=$\frac{\frac{12}{\sqrt{13}}}{\sqrt{13}}$，
∴OM=$\frac{24}{13}$，EM=$\frac{36}{13}$
∴E（-$\frac{24}{13}$，$\frac{36}{13}$），
同理求得F（$\frac{8}{5}$，$\frac{4}{5}$），
即△PQR周长的最小值为EF=$\sqrt{（\frac{8}{5}+\frac{24}{13}）^{2}+（\frac{36}{13}-\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，（3）根据对称的性质确定出三角形周长最小时满足的图形，找出点P关于直线AB的对称点E，关于AC的对称点F，再根据两点之间线段最短得到BEF即为PQ+QR+PR的最小值是解题的关键．