Question

25、已知n是自然数，且n²-17n+73是完全平方数，那么n的值是

8

或

9

．

Answer 1

分析：题目的要求是n²-17n+73是完全平方数，可设为a²，然后利用十字相乘法进行因式分解，根据原方程的判别式可求得a的值，从而得到n的数值．

解答：解：由于n²-17n+73是完全平方数，令y=n²-17n+73=a²
则n²-17n+72=a²-1
∴（n-8）（n-9）=（a+1）（a-1）③
原方程（视a为常数）△=4a²-3
要使该方程有整数解，
有△=4a²-3=b²
易得a=-1或1
代入③，③=0
这就表明③成立的条件为a=-1或1
∴n=8或9
故答案为8或9．

点评：本题考查了完全平方数；求出判别式利用使方程有整数解求解是正确解答本题的关键．